कोई अस्पताल हर विभाग में बेहतर होकर भी कुल मिलाकर बदतर दिख सकता है। दोनों आँकड़े सही हैं।

एक दावा सुनिए, जो सुनने में ग़लती लगता है। अस्पताल A की कुल जीवित-रहने की दर अस्पताल B से कम है। और उसी अस्पताल A की दर हृदय रोग में, चोट के मामलों में, बाल रोग में, कैंसर में — जितने विभाग हैं, हर एक में — B से ज़्यादा है। कोई आँकड़ा गढ़ा नहीं गया और कहीं जोड़-घटाव ग़लत नहीं है।

यह सिम्पसन का विरोधाभास है, और यह ध्यान देने लायक़ इसलिए नहीं है कि कोई अजूबा है। इसलिए है कि असली आँकड़ों में यह लगातार होता है — चिकित्सा में, शिक्षा में, भर्ती में, नीति के मूल्यांकन में — और दोनों परस्पर विरोधी जवाब सचमुच उसी एक डेटा से निकाले जा सकते हैं। इनमें से किसका कोई मतलब है, यह तय करने के लिए वह जानकारी चाहिए जो तालिका में है ही नहीं।

उलटाव बनता कैसे है

एक बार दिख जाए तो तंत्र बिलकुल साधारण है। इसके लिए दो चीज़ें चाहिए: ऐसे उपसमूह जिनके बुनियादी नतीजे अलग हों, और ऐसे उपसमूह जिनका आकार तुलना की जा रही चीज़ों में अलग-अलग हो।

एक उदाहरण लेकर देखिए। एक निजी अस्पताल और एक सरकारी रेफ़रल अस्पताल — दोनों के पास आसान मामले भी आते हैं और कठिन भी। आसान मामलों में जीवित रहने की दर कठिन मामलों से कहीं ज़्यादा है, चाहे इलाज कोई भी अस्पताल करे। यही पहली शर्त है।

मान लीजिए निजी अस्पताल में 900 आसान मामले हैं जिनमें 99% बचते हैं, और 100 कठिन मामले जिनमें 60% बचते हैं। उसकी कुल दर क़रीब 95% बैठती है।

रेफ़रल अस्पताल में 100 आसान मामले हैं जिनमें 100% बचते हैं — यानी बेहतर — और 900 कठिन मामले जिनमें 65% बचते हैं — यह भी बेहतर। उसकी कुल दर क़रीब 68.5% बैठती है।

दोनों श्रेणियों में बेहतर, और कुल मिलाकर कहीं बदतर। कुछ भी ग़लत नहीं हुआ। कुल आँकड़ा एक भारित औसत है, और भार बिलकुल अलग हैं: निजी अस्पताल का जोड़ आसान मामलों से बना है और रेफ़रल अस्पताल का कठिन मामलों से। कुल आँकड़ा उस सवाल का जवाब दे रहा है जो वह दिखता नहीं — "कौन-सा अस्पताल मरीज़ों का बेहतर इलाज करता है" नहीं, बल्कि "हर दरवाज़े से जो मरीज़ अंदर आते हैं उनके साथ औसतन क्या होता है" — और उन दरवाज़ों पर अलग-अलग लोग आते हैं।

यही वजह है कि रेफ़रल केंद्र, बड़े अस्पताल और वह हर संस्थान जो उन मामलों को लेता है जिन्हें कोई और नहीं लेता, कच्ची नतीजा-तालिकाओं में व्यवस्थित रूप से सज़ा पाता है। यही वजह है कि कमज़ोर विद्यार्थियों को दाख़िला देने वाला स्कूल, बेहतर पढ़ाने के बावजूद, चुने हुए होनहार लेने वाले स्कूल से ख़राब दिख सकता है — और वह डॉक्टर, जो निराश मामले भी लेता है, उससे बुरे आँकड़े रखता है जो उन्हें मना कर देता है।

दो दर्ज मामले, जो जानने लायक़ हैं

सबसे जाना-पहचाना असली उदाहरण 1973 में कैलिफ़ोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कली के स्नातकोत्तर दाख़िलों का है। कुल आँकड़े दिखाते थे कि पुरुषों को महिलाओं से काफ़ी ऊँची दर पर दाख़िला मिला — जो महिलाओं के ख़िलाफ़ साफ़ भेदभाव का सबूत लगता था। विभाग-दर-विभाग देखने पर वह पैटर्न बड़े हद तक ग़ायब हो गया और कई विभागों में उलट गया — विभागों के भीतर महिलाओं को बराबर या ऊँची दर पर दाख़िला मिला था। वजह यह थी कि महिलाओं ने अनुपात से ज़्यादा उन विभागों में आवेदन किया था जहाँ सभी के लिए दाख़िला दर कम थी, और पुरुषों ने उन विभागों में जो ज़्यादातर आवेदकों को ले लेते थे। इसका प्रकाशित विश्लेषण सांख्यिकी के मानक उदाहरणों में गिना जाने लगा।

दूसरा उदाहरण चिकित्सा से है — गुर्दे की पथरी के इलाज का। एक इलाज छोटी पथरी में दूसरे से बेहतर सफलता दर दिखाता था, और बड़ी पथरी में भी बेहतर, फिर भी कुल मिलाकर बदतर। वजह यह थी कि ज़्यादा चीर-फाड़ वाला इलाज ख़ास तौर पर बड़ी, कठिन पथरियों पर इस्तेमाल होता था। इलाज को उन्हीं मामलों का दोषी ठहराया जा रहा था जिनके लिए उसे चुना गया था।

दोनों मामलों की शक्ल एक है: एक असमान रूप से बँटा तीसरा चर — विभाग का चुनाव, पथरी का आकार, मामले की कठिनाई — जो यह भी तय करता है कि आप किस समूह में पहुँचेंगे और यह भी कि आपका नतीजा वैसे भी कैसा होता।

विरोधाभास यह नहीं है कि आँकड़े आपस में नहीं मिलते। विरोधाभास यह है कि लोग कुल जोड़ को उसके हिस्सों का सारांश मान लेते हैं, जबकि कुल जोड़ एक भारित औसत है — और उसके भार अपनी अलग दलील लिए बैठे होते हैं।

तो भरोसा किस आँकड़े पर करें?

अब वह हिस्सा, जो सचमुच काम का है और आम तौर पर छोड़ दिया जाता है: यह अकेले आँकड़ों से तय नहीं हो सकता। बँटे आँकड़े आपके सवाल का जवाब देते हैं या कुल जोड़ — यह इस पर निर्भर है कि समूह बनाने वाला चर कारण के लिहाज़ से है क्या — और यह दुनिया के बारे में जानकारी है, तालिका के बारे में नहीं।

अगर वह चर उलझाने वाला कारक (कन्फ़ाउंडर) है — यानी वह यह भी प्रभावित करता है कि कोई किस समूह में जाएगा और यह भी कि उसका नतीजा क्या होगा, और साथ ही वह इलाज का परिणाम नहीं है — तो कुल आँकड़ा दूषित है और अर्थ बँटे आँकड़ों में है। मामले की कठिनाई कन्फ़ाउंडर है: वह तय करती है कि मरीज़ किस अस्पताल पहुँचेगा और यह भी कि उसका पूर्वानुमान क्या है। इसे हिसाब में लिए बिना अस्पतालों की तुलना करना अस्पतालों की नहीं, मरीज़-आबादियों की तुलना है।

अगर वह चर कारण-शृंखला के भीतर है — यानी वह अध्ययन की जा रही चीज़ का कारण नहीं, उसका परिणाम है — तो उसके हिसाब से बाँटना ही ग़लती है, और कुल जोड़ सही है। एक सीधा उदाहरण: अगर कोई दवा रक्तचाप घटाकर काम करती है, और आप नतीजों को हासिल हुए रक्तचाप के हिसाब से बाँट दें, तो आपने वही तंत्र हटा दिया जिससे दवा असर करती है — और चलती हुई दवा बेकार दिख सकती है। कारण-शृंखला के बीच वाले चर के लिए समायोजन तुलना साफ़ नहीं करता, उसे नष्ट कर देता है।

इसका व्यावहारिक नतीजा यह है कि "हमारे पास जो भी चर थे, हमने सबका समायोजन कर लिया" कड़ाई का बयान नहीं है। समायोजन उतना ही अच्छा है जितनी यह सोच कि उसमें कौन-से चर आने चाहिए — और चर बढ़ाते जाना अनुमान को बेहतर नहीं, बदतर भी कर सकता है। इसीलिए विश्लेषण से पहले मानी गई कारण-संरचना को साफ़-साफ़ लिख देने का अनुशासन आधुनिक सांख्यिकी के केंद्र में आ गया है।

पेशेवर लोग इसका क्या करते हैं

मानक औज़ार पहचानने लायक़ हैं, क्योंकि नाम पता चलते ही वे हर जगह दिखने लगते हैं।

मानकीकरण रोज़मर्रा का इलाज है। आयु-मानकीकृत मृत्यु दर इसीलिए बनी, क्योंकि युवा आबादी और बूढ़ी आबादी की कच्ची मृत्यु दर की तुलना सेहत नहीं, जनसांख्यिकी नापती है। मानकीकृत दर पूछती है कि अगर दोनों आबादियों की आयु-संरचना एक होती तो उनकी मृत्यु दर क्या होती — और इससे तुलना उसी चीज़ के बारे में हो जाती है जिसके बारे में आप करना चाहते थे।

केस-मिक्स समायोजन अस्पतालों की सूचियों के लिए यही करता है, यानी यह हिसाब में लेने की कोशिश कि आने वाले मरीज़ कितने बीमार थे। यह ज़रूरी है और इसे तोड़-मरोड़ा भी जा सकता है — इसीलिए कच्चे और समायोजित, दोनों आँकड़े समायोजन की विधि के साथ छापना किसी एक आँकड़े से ज़्यादा मायने रखता है।

यादृच्छिकीकरण ही वह वजह है जिससे नियंत्रित परीक्षण वह जगह रखते हैं जो रखते हैं। अगर इलाज का आवंटन यादृच्छिक हो, तो उलझाने वाले कारक — जो पता हैं वे भी और जिनके बारे में किसी ने सोचा ही नहीं वे भी — रचना से ही दोनों समूहों में बराबर बँट जाते हैं, और कुल तुलना बिना उन्हें पहचाने भी वैध रहती है। यही यादृच्छिक परीक्षण का पूरा तर्क है, और इसीलिए प्रेक्षणात्मक आँकड़ों को उसी नतीजे तक पहुँचने के लिए कहीं ज़्यादा दलील देनी पड़ती है।

रोज़मर्रा में आँकड़े कैसे पढ़ें

कुछ आदतें सीधे इसी से निकलती हैं, और वे तकनीकी नहीं हैं।

कोई कुल तुलना दिखे तो पूछिए कि किन आबादियों की तुलना हो रही है और उनकी बनावट एक जैसी है या नहीं। कोई दर बताई जाए तो पूछिए "प्रति क्या" — प्रति मरीज़, प्रति कोशिश, प्रति व्यक्ति, प्रति रुपया — क्योंकि हर का हर अक्सर पूरी असहमति अपने भीतर छिपाए रहता है। जहाँ तुलना में कोई ऐसा संस्थान हो जो अपने आने वाले चुनता है, या ऐसा जो दूसरों के ठुकराए मामले लेता है, वहाँ सतर्क रहिए। और जब कोई उपसमूह विश्लेषण किसी सुर्ख़ी को उलट दे, तो उसे अपने आप गहरा सच भी मत मान लीजिए: छोटी संख्याओं पर किए गए उपसमूह विश्लेषण वही जगह हैं जहाँ झूठे नतीजे पनपते हैं।

काम की प्रवृत्ति सांख्यिकी पर शक करना नहीं है। यह पहचानना है कि हर आँकड़ा कुछ चुनावों से बना सारांश होता है — और वे चुनाव आम तौर पर आँकड़े से ज़्यादा दिलचस्प होते हैं।

विद्यार्थियों और शोधकर्ताओं के लिए यह क्यों मायने रखता है

सिम्पसन का विरोधाभास व्यावहारिक गणित के उस बड़े बदलाव में घुसने का अच्छा रास्ता है जो पिछले दशकों में हुआ — सिर्फ़ संबंध बताने से हटकर कारण-संरचना पर साफ़-साफ़ तर्क करना, ऐसे औपचारिक औज़ारों से जो मान्यताओं को छिपाए रखने के बजाय सामने रख दें। वह ढाँचा शून्य से ज्ञान नहीं गढ़ता; वह दलील को जाँचने लायक़ बना देता है — और यही उसका मक़सद है।

इसका दायरा चौड़ा है, और भारत के लिए तात्कालिक। राज्यों, ज़िलों और संस्थानों के बीच तुलनाएँ बहुत-सी नीतियों का आधार हैं, और आयु-संरचना, शहरीकरण, बुनियादी सेहत तथा सेवाओं तक पहुँच में अंतर रखती आबादियाँ ठीक वही हालात हैं जिनमें जोड़ने पर नतीजे उलट जाते हैं। जो राज्य किसी बीमारी की ऊँची दर बताता है, हो सकता है वह बस उसकी जाँच ज़्यादा कर रहा हो। जिस संस्थान के नतीजे ख़राब हैं, हो सकता है वही सबसे कठिन मामले ले रहा हो। भारतीय प्रशासनिक आँकड़ों को ध्यान से अलग-अलग करके देखने वाला और किसी भी समायोजन के पीछे की कारण-मान्यताओं को साफ़ लिखने वाला काम करने लायक़ भी है और सचमुच दुर्लभ भी।

इसी तरह का पद्धतिगत काम रीसेंट ट्रेंड्स इन मैथमेटिक्स (ISSN 3139-6364) के दायरे में आता है, जो गणितीय विज्ञानों में उभरते विकास पर केंद्रित पीयर-रिव्यूड जर्नल है। गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र और स्वास्थ्य विज्ञान के विद्यार्थियों के लिए यह विरोधाभास जल्दी आत्मसात कर लेने लायक़ है, क्योंकि यह सबसे साफ़ प्रमाण है कि किसी डेटासेट में उसकी अपनी व्याख्या नहीं रखी होती।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

सिम्पसन का विरोधाभास क्या है?

वह स्थिति जिसमें डेटा के हर उपसमूह में दिखता संबंध उपसमूहों को जोड़ते ही उलट जाता है। यह तब बनता है जब समूहों के बुनियादी नतीजे भी अलग हों और तुलना की जा रही चीज़ों में उनका सापेक्ष आकार भी अलग हो।

क्या यह गणना की ग़लती है?

नहीं। उपसमूहों के आँकड़े और कुल आँकड़ा, दोनों अंकगणित के लिहाज़ से सही हैं। कुल एक भारित औसत है, और तुलना किए जा रहे समूहों में वे भार अलग हैं — यही उलटाव पैदा करता है।

भरोसा किस पर करें, उपसमूह पर या कुल पर?

यह समूह बनाने वाले चर की कारण-भूमिका पर निर्भर है। अगर वह उलझाने वाला कारक है — यानी समूह में जाना और नतीजा, दोनों प्रभावित करता है — तो उपसमूहों के आँकड़े सार्थक हैं। अगर वह अध्ययन की जा रही चीज़ का परिणाम है, तो उसके हिसाब से बाँटना ग़लती है और कुल सही है।

रेफ़रल अस्पतालों के नतीजे ख़राब क्यों दिखते हैं?

क्योंकि उनके पास कठिन मामलों का अनुपात ज़्यादा होता है। उनकी कुल दर देखभाल की गुणवत्ता नहीं, मरीज़ों की बनावट दिखाती है — केस-मिक्स समायोजन इसी के लिए है।

बर्कली दाख़िलों का मामला क्या था?

1973 के कुल दाख़िला आँकड़े महिलाओं के ख़िलाफ़ भेदभाव जैसे दिखते थे, पर विभाग-स्तर पर देखने से पता चला कि विभागों के भीतर महिलाओं को बराबर या ऊँची दर पर दाख़िला मिला था। महिलाओं ने अनुपात से ज़्यादा उन विभागों में आवेदन किया था जहाँ सभी आवेदकों के लिए दाख़िला दर कम थी।

क्या ज़्यादा चरों का समायोजन हमेशा विश्लेषण बेहतर करता है?

नहीं। इलाज और नतीजे के बीच की कारण-शृंखला पर बैठे चर का समायोजन उसी असर का हिस्सा हटा देता है जिसे नापा जा रहा है, और असली असर ग़ायब कर सकता है। किन चरों का समायोजन हो, यह कारण-संरचना का सवाल है — जितने मिलें उतने डाल देने का नहीं।